Coronavírus e Matemática

Neste período do avanço da pandemia provocada pelo novo Corona Vírus, muito se tem escrito e debatido sobre o número de pessoas sendo infectadas a cada dia, a velocidade do contágio e os números de mortes e de recuperações dos infectados. A formulação de modelos matemáticos que descrevam o desenvolvimento da COVID-19 é uma tarefa ampla, que envolve não só matemáticos – como se poderia em um primeiro momento pensar – mas também físicos que estudam a evolução de sistemas complexos (área de pesquisa da Mecânica Estatística), biólogos, químicos, bioquímicos, médicos de amplo espectro e, apesar de não parecer óbvio, cientistas sociais. Os modelos matemáticos não são simplesmente frias séries numéricas, gráficos e tabelas estatísticas, mas devem também ser modulados por parâmetros que levem também em conta aspectos sócioeconômicos e culturais, caso se deseje uma descrição o mais completa possível do problema que enfrenta o mundo.


Nos debates, textos e apresentações por autoridades em veículos da mídia, vem-se fazendo recursivo uso das terminologias crescimento geométrico e crescimento exponencial. Aliás, a palavra exponencial (que pode aparecer como substantivo ou adjetivo) e o advérbio exponencialmente já se vêm incorporando à linguagem corrente. Pensando no cidadão em geral, sobretudo aquele não muito familiarizado com a Matemática, acredito que o momento que estamos vivendo ofereça um contexto muito propício para um melhor detalhamento sobre séries (ou progressões numéricas) de natureza aritmética, geométrica e exponencial. Saber extrair a mensagem implícita nos números é uma habilidade que pode ser construída, afinal a Natureza e seus fenômenos possuem uma intrínseca qualidade matemática.


Os números de infectados, mortos e recuperados da COVID-19 publicados diariamente formam séries numéricas por trás das quais podemos descobrir regularidades e, assim, conhecendo a evolução destes números a partir dos dados colhidos em dias precedentes e de posse dos números atualizados, temos a possibilidade de fazer projeções futuras e, consequentemente, podemos partir para a identificação de interfaces entre as diferentes Ciências para o combate à pandemia. Este é um dos grandes papéis das Ciências em geral: a capacidade de fazer previsões levando em conta fatores de incerteza, mas tornando precisas as próprias imprecisões inerentes aos processos de observação e medição. Todo avanço tem uma carga de incertezas, e estas devem ser controladas para garantirmos progresso sustentável. O mérito de uma boa teoria é, justamente, a partir de alguns dados disponíveis, e de um mínimo de premissas moduladas pela subjetividade, poder nos conduzir a um amplo número de previsões, permitindo-nos uma clara visão de futuro e, assim, nos dando tempo de antecipar soluções para problemas que ainda não se vislumbram. O ainda-desconhecido deixa de ser inesperado, nunca nos esquecendo a subjetividade inerente às grandes teorias, não tão positivistas como o cidadão em geral imagina que a Ciência seja.


Neste período pelo qual o mundo vem passando, em que o negacionismo da Ciência em suas várias formas ocupa sempre mais espaço, a pandemia da COVID-19 traz uma reflexão profunda para a Sociedade sobre o valor do Conhecimento humano e para a necessidade de devotarmos especial atenção à transmissão cultural; é através desta que a Ciência, em sua mais ampla abrangência, avança. O acúmulo de conhecimento e a transmissão cultural se dão, sobretudo, em espaços acadêmicos, como as universidades e centros de pesquisa. Aderir e propagar o terraplanismo, minimizar a crise ambiental ou combater a vacinação não são as únicas formas de negar a Ciência. Os nossos governantes se tornam negacionistas da Ciência quando praticam políticas econômicas que reduzem drasticamente verbas para a Educação e Pesquisa, cortando bolsas, extinguindo políticas educacionais e fundos para investigação exploratória, minimizando o papel das universidades e boicotando e quebrando a cadeia da transmissão cultural. Negar a Ciência é também considerar que esta se justifica apenas por sua razão instrumental: “vamos apoiar aquela pesquisa que dá retorno imediato, aquela pesquisa que serve-para-quê”, dizem alguns, cancelando a pesquisa básica exploratória, aquela que busca o significado como forma de elevação da Humanidade. A pesquisa básica deve ser exploratória. A partir desta, desenvolvem-se modelos, teorias, técnicas e tecnologias, o que fornece a base para o processo de inovação. As grandes tecnologias de que dispõe hoje o mundo nasceram de ciência básica exploratória, de descobertas que para absolutamente nada pareciam servir quando aconteceram.


Nesta chave, vamos lembrar que os estudos do físico-matemático escocês James Clerk Maxwell sobre as ondas eletromagnéticas não apresentavam a mínima razão instrumental quando ele os desenvolveu, entre 1863 e 1867. Somente 35 anos mais tarde, o físico italiano Guglielmo Marconi aplicou os “inúteis” estudos de Maxwell para o desenvolvimento do primeiro telégrafo sem fio e, em seguida, nos primeiros anos 1900, desenvolveu a comunicação via rádio. A aparente inutilidade das investigações de Maxwell ganharam forma tecnológica através das ditas invenções de Marconi. Sem Maxwell, talvez Marconi não tivesse conseguido seus grandes feitos de inventor. Como muito sabiamente definiu o filósofo italiano Nuccio Ordine: “a utilidade do inútil”.


Para nada servia o elétron quando este foi descoberto em 1897 pelo físico inglês Joseph Thomson; “pesquisa inútil”: identificar os chamados raios catódicos, que para nada pareciam servir naquele momento. A carga de significados desta descoberta é imensa. O Século da Eletrônica não existiria sem a aparente inutilidade de um simples elétron. Os estudos do mofo do Dr. Alexander Fleming em 1928 – investir fundos para se estudar o mofo poderia parecer uma grande inutilidade – nos trouxeram a penicilina, responsável pela preservação da vida. Se houvesse a penicilina durante a I Grande Guerra, as perdas humanas teriam sido muito menores, pois as infecções advindas dos combates ceifaram milhões (não milhares) de vidas. Se hoje governos cortam pesquisas por não trazerem imediato retorno, é fácil imaginar as retaliações que sofreria o Dr. Fleming por se dedicar às suas plaquinhas com mofo. Tantos outros exemplos em todas as áreas do Conhecimento podem ser dados. O importante é compreendermos as Ciências como a busca pelo significado pleno de nossa existência, o que faz das Artes também uma grande forma Ciência. Todos, no final do dia, estão buscando significado para a Vida.


Peço desculpas aos leitores por esta introdução longa - e desnecessária para muitos - mas, como o texto é dirigido aos nossos Estudantes do Pré-Universitário Ciência e Cidadania, acho primordial contextualizarmos a discussão do conhecimento científico neste momento em que são as universidades e centros de pesquisa – tão açoitados pelas políticas restritivas dos tetos de gasto e mesmo desqualificadas por representantes governamentais - protagonizam a busca de soluções para o problema sanitário que vivemos e, como muitos não gostam de subtrair da discussão, para o problema econômico, este decorrente da tragédia sanitária. Esta pandemia nos revela o forte acoplamento entre Educação, Pesquisa – que formam a cadeia do Conhecimento – e a Economia, representada pelo capital. Que os nossos cidadãos-estudantes atentem para as várias formas institucionalizadas de negar a Ciência; mesmo considerando que a Terra seja esférica, mesmo compreendendo o papel das vacinas e o problema ambiental, negase a Ciência quando se institucionalizam políticas para transformá-la em figurante sem fala de nossa Sociedade. Estejamos atentos a formas perversas de negar a Ciência, traçadas e aprovadas por muitos políticos legitimamente eleitos por nós.


Retornando ao nosso tema-provocação, vamos finalmente falar de séries (ou progressões) numéricas e as características que as identificam e diferenciam, lembrando que as palavras-chave nestes meses de pandemia são crescimento geométrico e crescimento exponencial.


Vamos considerar as duas séries numéricas abaixo:

#1. 1, 11, 21, 31, 41, 51, .....

e

#2. 25, 18, 11, 4, -3, -10, ..... .


A série #1 é crescente; cada número da progressão é o anterior acrescido de 10 unidades. Esta é a regularidade desta série: cada passo constitui-se do passo anterior acrescido de 10 unidadesa. Este tipo de série é denominado série (ou progressão) aritmética (porque sempre se soma o mesmo número; neste caso, 10) crescente. O número 10 é chamado de razão da série.


A série #2 também tem uma característica aritmética, porém, ao invés de somar, subtraise o número 7 de cada termo para se ter o número sucessivo. Subtrair 7 é o mesmo que somar o número negativo (-7). A razão desta série aritmética é negativa e a série, ao invés de crescer, decresce; é uma série aritmética decrescente, aquela que tem uma razão negativa. As séries aritméticas crescentes têm razão positiva.


Tarefa especial #1:


Aqui, fica uma tarefa simples para os Estudantes: buscar uma situação real onde se possa aplicar cada uma destas séries. A aplicação vai depender da criatividade de cada um. Por exemplo, com os dados oficiais disponibilizados na internet, se poderia procurar se, em alguma cidade, o número de mortes (não o número de infectados!) ocorridas diariamente a partir de uma certa data se encontra em progressão aritmética ou não; é apenas uma sugestão.


Prosseguindo, consideremos as séries numéricas seguintes:


#3. 1, 10, 100, 1000, 10.000, .....


#4. 128, 32, 8, 2, ½ , ..... .


O padrão 10 encontra-se na série #3; porém, diferentemente da série #1, onde o padrão (ou razão) 10 é somado, na série #3 esta razão é multiplicada. A regularidade é a multiplicação por 10; daí, a terminologia série ou progressão geométrica (neste caso, crescente). A regularidade da série #4 é a divisão pelo número 4, do que segue o caráter de série geométrica decrescente. Dividir por 4 é o mesmo que multiplicar por um-quarto ( ¼ ); as séries geométricas decrescentes apresentam razão menor do que 1; as crescentes, razão maior do que 1: o número em um certo passo dividido pelo número do passo anterior dá como resultado um número (uma razão) maior do que 1 nas sequências geométricas crescentes.


Tomando um exemplo simples, onde imaginamos que uma pessoa infectada possa transmitir o vírus para outras 10, cada uma destas 10 vá, individualmente, infectar outras 10, e assim por diante, o número de infectados novos vai crescendo geometricamente a partir do primeiro indivíduo que chegou infectado: 1, 10, 100, 1000, 10.0000, ..... . Isto ilustra um crescimento geométrico.


Tarefa especial #2:


Acredito fazer parte do patrimônio cultural de nossos Pupilos em seu Ensino Médio a conhecida Lei de Thomas Malthus, elaborada no final do Século XVIII, que afirmava estar a população mundial crescendo geometricamente, enquanto que a produção de alimentos crescia apenas aritmeticamente (vale comparar a série #1 – aritmética – e a série # 2 – geométrica - dadas acima para perceberem numericamente o problema). Seria interessante que os Estudantes fizessem uma breve contextualização da Lei de Malthus, publicada em 1798, em conexão com a Primeira Revolução Industrial e com o movimento intelectual e filosófico do Iluminismo. É importante se traçar o panorama do mundo no final do Século XVIII para se compreender o impacto da Teoria Populacional de Malthus. Hoje, entretanto, sabemos que a Lei de Malthus está invalidada. Sugiro avaliar as razões e os fatores pelos quais esta lei é violada.


Tarefa especial #3:


De novo, vamos retornar aos dados oficiais (ainda que subnotificados) da pandemia. Analisando os dados de novos infectados diariamente na Itália, Espanha, França, Reino Unido, Alemanha, EUA e Brasil (ao longo do mês de Março) procure compreender por que se fala de ascendência geométrica. Acessem também os dados de mortes diárias no mundo, também no mês de Março, e verifique se se justifica falar (mesmo em caráter aproximado) de um crescimento geométrico das mortes.


Resta-nos, agora, apresentar e discutir melhor o que significa o crescimento exponencial. Veremos que pode também haver um decaimento exponencial.


Duas operações aritméticas são ligadas à operação de potenciação. Suponhamos tomar uma variável genérica, x, e elevá-la a uma certa potência (ao quadrado, x2 ; ao cubo, x 3 ; à quarta potência, x4 ; a uma potência qualquer, n: x n ). Esta é a operação a que chamamos potenciação, função-potência ou, ainda, lei de potência: x é a variável (pode assumir diferentes valores) enquanto o expoente, n, é mantido fixo. De forma mais clara:


x (expoente 1, por isso não o escrevemos) é a função linear;

x 2 (expoente 2) é a função quadrática;

x 3 (expoente 3) é a função cúbica;

x 4 (expoente 4) é a função quártica;


e assim sucessivamente.


Considerando cada caso destas funções separadamente, x pode variar, mas o expoente se mantém imutável (ou é 1, ou 2, ou 3, ou 4, e assim por diante).


Por exemplo, considerando diferentes valores de x ( x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, por exemplo), vamos averiguar como as diferentes funções reagem. Cada função retornará o valor de x com a potência relativa àquela função. Mais claramente:


crescimento linear, o próprio x: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (a potência linear é 1, logo retorna sempre o mesmo valor de x);


crescimento quadrático, x2 : 1, 4, 9, 16, 25, 36 (logo o crescimento é mais robusto);


crescimento cúbico, x3 : 1, 8, 27, 64, 125, 216 (crescimento ainda mais rápido).


Relembrando o estudo da Cinemática feito no Ensino Médio, para o movimento retilíneo uniformemente variado (aceleração constante) a partir do repouso, a velocidade, v, do objeto em movimento cresce linearmente com o tempo, t, e o seu deslocamento espacial, s, cresce quadraticamente com o tempo. As expressões matemáticas destas afirmativas são as leis de potência abaixo:


v = a t ( t tem potência 1, logo comportamento linear)


x = ½ a t2 ( t tem potência 2, logo, comportamento quadrático).


Ilustramos acima o comportamento tipo potência ou a lei de potência. A finalidade de se introduzir este conceito foi com o propósito de não se vir a confundir com o comportamento de potência com o comportamento exponencial. Observo que os Estudantes, em geral, confundem estas duas categorias de comportamento.


Para a função potência ilustrada anteriormente, a variável em questão, x, aparece como base de uma potência; o expoente desta potência é um número que fixamos ( x 1 , x2 , x3 , x 4 , e assim por diante). O expoente de x não precisa ser necessariamente um número inteiro e positivo. Poderia ser negativo e não-inteiro também; por exemplo, x -5 . Expoentes não-inteiros na lei de potência são conhecidos como expoentes fractais. Por exemplo, x 0,4 , x 1,05 , x -2,42 são exemplos de leis de potência com expoente fractal.


A chamada função (ou lei) exponencial tem estrutura inversa: a base é um número fixo e é o expoente que se torna variável. Concretamente:


2 x , 3 x , ( ½ ) x , e outras possibilidades. O importante desta categoria é se ter uma base fixa e a variável escolhida para descrever o sistema estar no numerador. Convencionalmente, escolhemos duas bases mais populares: base 10 e base e = 2,72818..... (um número irracional muito especial; as reticências seguem indefinidamente. Falaremos sobre este número ao final.). O fato de convencionarmos uma destas bases (10 ou a base e) não é um problema, pois se pode sempre, através de um procedimento chamado mudança de base, transitar entre diferentes bases sem se perder qualquer informação sobre que se está estudando. O problema permanece o mesmo, mudando apenas a forma de representá-lo. Vamos, aqui, escolher para as nossas considerações a base 10.


A nossa função dita exponencial é, então, a função 10x , sendo x a variável que adotaremos para descrever algum tipo de sistema a ser estudado, como ficará esclarecido a seguir. Por enquanto, vamos nos ater à progressão de números gerados a partir desta exponencial 10x . Para tal, tomemos diferentes valores de x:


x = 0, 100 = 1 (todo número diferente de zero elevado à potência zero dá resultado 1);


x = 1, 101 = 10;


x = 2, 102 = 100;


x = 3, 103 = 1000;


x = 4, 104 = 10.000;


x = 5, 105 = 100.000;


x = 6, 106 = 1.000.000;


e assim sucessivamente.


Logo, observamos que esta sequência numérica, {1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, .....}, provém da função exponencial 10x , mas, voltando à nossa série geométrica crescente #3,vemos que ambas coincidem. Por isso, muitas vezes, nos debates e apresentações sobre a COVID-19 se fala em crescimento exponencial ou crescimento geométrico: para valores inteiros de x (como acima, x = 1,2, 3, 4, 5, 6, .....) a série #3 coincide com a exponencial 10x .


[ O que vou colocar nesta observação não é primordial. É um aparte de natureza mais técnica; portanto, quem não compreender não estará perdendo nada do ponto de vista conceitual. Quero destacar que a função exponencial 10x pode ser convertida na função exponencial e x através da relação de mudança de base, 10 x = e x ln10 . O símbolo ln10 expressa o logaritmo natural de 10: ln10 = 2,302585... . Acrescento esta observação porque é muito popular se trabalhar com a base e, sobretudo na Física, na Química, na Economia e nas Engenharias. Mas, nada nos impede de adotar a base 10. Esta relação de mudança de base é importante para se compreender por que uma série geométrica de razão r, { r n }, pode sempre ser convertida em uma exponencial, e n lnr, sendo lnr o logaritmo natural de r.]


Chamo atenção para o fato de que, em muitas reportagens e textos, é comum se apresentar um tipo de gráfico que se diz gráfico em escala logarítmica. Neste tipo de gráfico, ainda temos observado o número de infectados crescendo ao longo de uma linha reta. A presença de uma linha reta em um gráfico em escala logarítmica revela um crescimento exponencial. Aqueles que têm assistido às lives diárias do economista Eduardo Moreira neste período de “semestrena”, o vêm sempre mostrando o dito gráfico logarítmico, sobre o qual ele insiste muito. A linha ainda bem reta no gráfico que ele apresenta em escala logarítmica revela o crescimento exponencial do número de infectados.


Estudos preliminares na China indicaram, em meados do mês de Fevereiro, que os números de infectados, de mortos e de recuperados seguiam uma lei de potência, isto é, uma lei do tipo t p , onde a variável t representa o tempo decorrido em dias, contados a partir de 20 de Janeiro, e o expoente p apresenta um valor fractal, que os chineses determinaram a partir dos dados de que dispunham. Cada categoria - infectados, mortos e curados – apresentava, no estudo dos pesquisadores chineses, um diferente valor de p. Hoje, com o avanço da pandemia e sua extensão mundial, a percepção mudou e o que se tem, em países onde o número de infectados ainda não se estabilizou, é um comportamento de natureza exponencial, e não tipo potência, como os próprios chineses hoje adotam; algo do tipo e t , onde t representa o número de dias a partir de uma certa data usada como referência para o estudo da série temporal.


Para finalizar, ao adotarmos a forma da função exponencial com a base e, isto é, a função e x , vale a pena ressaltar por que este número com infinitas casas decimais, e = 2, 718281828459..... , isto é, um número irracional, é tão relevante e tem recorrência notável na Natureza. É denominado número de Euler (em homenagem ao matemático suíço Leonard Euler) ou número de Napier (em homenagem ao matemático inglês John Napier). Este número aparece como resultado da soma infinita de uma sequência de números como segue:


1 + ( 1 +1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 + 1/720 + 1/1540 + ..... ), a qual converge para o valor 2,718281828459..... , que representamos pela constante matemática e.


A exponencial negativa, e -x , descreve o chamado decaimento exponencial, e aparece em muitas situações físicas, como em sistemas dissipativos (presença de atrito e resistência do ar), em radioatividade (a datação radioativa por Carbono-14 é baseada nesta exponencial decrescente; através do expoente da exponencial, determina-se a idade do objeto em estudo), em problemas de propagação luminosa em certos meios materiais e em outras situações onde existe um rápido decréscimo de uma certa quantidade. É comum aparecer a expressão “decair exponencialmente”, como também se empregar o termo “crescer exponencialmente”. Por exemplo, quando a aula de Física-Matemática vai-se tornando tediosa ao longo do tempo, nada mais justo do que um Pupilo dizer que sua atenção e seu interesse decaem exponencialmente com o tempo.


Considerações Conclusivas


Finalizando, o nosso objetivo neste material escrito foi contextualizar, neste cenário de pandemia, os conceitos de séries numéricas com regularidades aritmética, geométrica e exponencial, no sentido de transmitir aos nossos Estudantes uma ideia mais precisa destas terminologias. Nesta ocasião, aproveitamos a oportunidade para reiterar a importância das Ciências e descolar a sua relevância de sua razão instrumental, postura que o pensamento neoliberal nem sempre adota. A pesquisa científica e a formulação de novas formas de conhecimento devem ser vistas como o elemento mais precioso para a soberania de uma sociedade, para a sua real independência e para uma relação saudável, de simbiose mesmo, com o capital. A Educação e a Pesquisa custam, requerem grandes investimentos, por isso pedem a presença do Estado; o conhecimento que a Educação e a pesquisa científica retornam repõe o capital investido e espontaneamente induz bem-estar e mais equidade social. Por isso, é importante estarmos sempre em estado de alerta para para as formas mais sutis e perversas de negacionismo científico.


Por José Helayel

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